证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2
问题描述：
证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2
其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3
答
要证a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2
即证2(a^2+b^2+c^2)+3abc≥9
即证2[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]+3abc≥9（注意到(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)）
即证9-4(ab+bc+ca)+3abc≥0（注意到a+b+c=3）
即证9-4ab-4c(a+b)+3abc≥0
即证9-4ab-4c(3-c)+3abc≥0（注意到a+b=3-c）
即证(4-3c)ab≤4c^2-12c+9
即证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
若4-3c0
显然上式恒成立
若4-3c≥0
因ab≤(a+b)^2/4（基本不等式）
即ab≤(3-c)^2/4（注意到a+b=3-c）
则(4-3c)ab≤(4-3c)(3-c)^2/4
于是要证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
即证(4-3c)(3-c)^2/4≤(2c-3)^2
即证c^3-2c^2+c≥0
即证c(c-1)^2≥0（注意到c>0）
即证(c-1)^2≥0
显然(c-1)^2≥0恒成立
综上知a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2