用极限的定义证明lima^n/n!=0(n→∞)用定义(因为只学到这左右),就是任给V存在E,当n>M时,｜a^n/n!｜

令a^n/n! =y，则：
n!=a^n/y，两边开n次根，得
(n!)^(1/n)=a/y^(1/n)，两边同除以n，得
(n!)^(1/n)/n=a/ny^(1/n)，两边取对数，得
1/n[ln(1/n)+ln(2/n)+...+ln(n/n)]=ln(a/ny^(1/n))，左边即为∫(0到1) lnx dx = -1，得：
-1=ln(a/ny^(1/n))
a/ny^(1/n)=1/e
所以y^(1/n)=ae/n
y=(ae/n)^n
所以当n趋向于无穷大时，ae/n->0.
所以y->0
所以lima^n/n!=0(n→无穷大) 得证

由于必然存在N1,使得n>=N1时,n>|a|,所以我们可以只看N1后面的项(注意到a给定时,这个N1是常数)
当n>N1时,
|a^n/n!| = |a/1| * .|a/N1| * |a/(N1+1)| * ...|a/n|
令|a|/1 * .|a|/N1 =M
有|a^n/n!| 所以任给ε>0,取N= N1+log(|a|/N1)ε/M (N1加上以a/N1为底,ε/M的对数),这样,当n>N时有
|a^n/n!|从而得证