设e1,e2分别是具有公共交点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,P是一个公共点,且线段PF1和PF2垂直
问题描述：
设e1,e2分别是具有公共交点F1,F2的椭圆和双曲线的离心率,P是一个公共点,且线段PF1和PF2垂直
求(e1^2+e2^2)/(e1e2)^2的值。(^2是平方）
答
很简单,只要将题目的条件都转化为代数式然后进化化简即得结果
设椭圆的长半轴是a1,双曲线的实半轴是a2,它们的半焦距是c
并设PF1=m,PF2=n,m>n,根据椭圆的和双曲线的定义可得
m+n=2a1
m-n=2a2
解得
m=a1+a2,n=a1-a2
又PF1⊥PF2,由勾股定理得
PF1²+PF2²=F1F2²
(a1+a2)²+(a1-a2)²=(2c)²
化简可得
a1²+a2²=2c²
离心率e1=c/a1,e2=c/a2
(e1²+e2²)/(e1e2)²
=[(c/a1)²+(c/a2)²]/[(c/a1)(c/a2)]²
=[(c²/a1²)+(c²/a2)²]/[c²/(a1a2)]²
=[c²(a1²+a2²)/(a1a2)²]/[c⁴/(a1a2)²]
=c²×2c²/c⁴
=2