设f(λ)=λ/(1+λ)(λ≠-1,0）.数列｛bn｝满足b1=1/2,bn=f(bn-1)注bn-1 n-1是角标n≥2求证数列｛1/bn｝为等差 此问已求1/bn=n+1记cn=(1/2)^(n-1)乘以(1/bn-1),数列｛cn｝的前项和为Tn,求证当n≥2时,3≤Tn+cn
问题描述：
设f(λ)=λ/(1+λ)(λ≠-1,0）.数列｛bn｝满足b1=1/2,bn=f(bn-1)注bn-1 n-1是角标n≥2
求证数列｛1/bn｝为等差 此问已求1/bn=n+1
记cn=(1/2)^(n-1)乘以(1/bn-1),数列｛cn｝的前项和为Tn,求证当n≥2时,3≤Tn+cn
答
Cn = n* (1/2)^(n-1),由错位相减法求Tn：
Tn = 1 + 2* (1/2) + 3* (1/2)²+ 4* (1/2)³ +...+ n* (1/2)^(n-1),——①
1/2 * Tn = 1/2 + 2* (1/2)²+ 3 (1/2)³ +...+ (n-1)* (1/2)^(n-1) + n* (1/2)^n,——②
①-②,得：1/2 * Tn = 1+ 1/2 + (1/2)² + (1/2)³+...+(1/2)^(n-1) - n* (1/2)^n,
求得 Tn = 4 - (2n+4)* (1/2)^n
所以 Tn + Cn = 4 - (2n+4)* (1/2)^n + (2n)* (1/2)^n = 4 - 4* (1/2)^n = 4*{1- (1/2)^n},
显然 Tn + Cn 而由于当n≥2时,(1/2)^n ≤ 1/4 ,得证 Tn + Cn ≥ 3 .