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求函数z=x2+y2+1在约束条件x+y-3=0下的极值．

分类: 作业答案 • 2021-11-29 10:39:30
问题描述：

求函数z=x2+y2+1在约束条件x+y-3=0下的极值．

答

利用拉格朗日乘数法求条件极值，
令L（x，y，λ）=x2+y2+1+λ（x+y-3）
得方程组   

L′x＝2x+λ＝0
L′y＝2y+λ＝0
L′λ＝x+y−3＝0

解之得：x＝y＝
3
2
，
由题意知：当x＝y＝
3
2
时，z可能取到极值
11
2
．
再来判断：令F（x）=z（x，y（x））=x2+（x-3）2+1，
F′（
3
2
）=0，且F″(
3
2
)＞0，
故函数z取得极小值为z（
3
2
，
3
2
）=
11
2
．

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