已知f（x）=x-ax（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若对[1，+∞）内的一切实x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
问题描述：
已知f（x）=x-
（a＞0），g（x）=2lnx+bx，且直线y=2x-2与曲线y=g（x）相切．a x
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若对[1，+∞）内的一切实x，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
答
（Ⅰ）设点（x0，y0）为直线y=2x-2与曲线y=g（x）的切点，
则有2lnx0+bx0=2x0-2 （*）
∵g′(x)＝
+b，2 x
∴
+b＝2 （**）2 x0
联立（*）（**）两式，解得b=0；
（Ⅱ）∵b=0，
∴g（x）=2lnx．
由f（x）≥g（x）整理，得
≤x−2lnx，a x
∵x≥1，
∴要使不等式f（x）≥g（x）恒成立，必须a≤x2-2xlnx恒成立．
设h（x）=x2-2xlnx，h′(x)＝2x−2(lnx+x•
)＝2x−2lnx−2，1 x
再设m（x）=2x-2lnx-2，
∴当x≥1时，m′（x）＞0，则h′（x）是增函数，
∴h′（x）≥h′（1）=0，h（x）是增函数，h（x）≥h（1）=1，
∴a≤1．
答案解析：（Ⅰ）设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，把切点横坐标分别代入曲线和直线方程，由纵坐标相等得一关系式，再由切点处的导数等于切线的斜率得另一关系式，联立后求得b的值；
（Ⅱ）把b的值代入函数解析式，把不等式f（x）≥g（x）恒成立分离变量转化为a≤x2-2xlnx恒成立，
构造辅助函数h（x）=x2-2xlnx，利用导数求其最小值得答案．
考试点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
知识点：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法和函数构造法，运用二次求导求函数的最值是解答该题的关键，是压轴题．