已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d＞0,且第二项,第五项,第十四项分别是一个等比数列的第二项,第三项

a2=1+d a5=1+4d a14=1+13d 因为第二项，第五项，第十四项分别是一个等比数列的第二项，第三项 ，所以a2*a14=(a5)^2 即（1+d)*(1+13d)=(1+4d)^2 得出d=2（d＞0） 所以an=a1+(n-1)*d=1+(n-1)*2=2n-1

（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，…（2分）
整理得2a1d=d2．
∵a1=1，解得（d=0舍），d=2．…（4分）
∴an=2n-1（n∈N*）．…（6分）
（2）bn=1n(an+3)=1/2n(n+1)=1/2(1/n-1/（n+1）)，
∴Sn=b1+b2+…+bn=1/2[(1-2)+(1/2-13)+…+(1n-1n+1)]=12(1-1n+1)=n2(n+1)．…（10分）
假设存在整数t满足Sn＞t36总成立．
又Sn+1-Sn=n+1/2(n+2)-n2(n+1)=1/2(n+2)(n+1)＞0，
∴数列{Sn}是单调递增的． …（12分）
∴S1=1/4为Sn的最小值，故t36＜1/4，即t＜9．
又∵t∈N*，
∴适合条件的t的最大值为8．…（14分）
此处才是王道！！！

第二项=1+d
第五项=1+4d
第十四项=1+13d
由题意(1+13d)/(1+4d)=(1+4d)/(1+d)
1+14d+13d^2=1+8d+16d^2
3d^2-6d=0
d=2或d=0(舍去)
所以d=2

第二项，第五项，第十四项分别是一个等比数列的第二项，第三项?第一二三项吧

(1)由题意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）2,……………………… 2 分
整理得2a1d＝d2．
∵a1＝1,解得（d＝0舍）,d＝2． ………………………………………… 4 分
∴an＝2n－1（n∈N*）． …………………………………………………… 6 分
(2)bn＝ ＝ ＝ （ － ）,
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝ 〔（1－ ）＋（ － ）＋…＋（ － ）〕
＝ （1－ ）＝ ． …………………………………… 10 分
假设存在整数t满足Sn＞ 总成立.
又Sn+1－Sn＝ － ＝ ＞0,
∴数列{Sn}是单调递增的． ……………………………………………… 12 分
∴S1＝ 为Sn的最小值,故 ＜ ,即t＜9．
又∵t∈N*,
∴适合条件的t的最大值为8． ………………………………………… 14 分