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已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)，两焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，且△ABF1内切圆的半径为a，则此双曲线的离心率为_．

分类: 作业答案 • 2021-11-21 11:22:15
问题描述：

已知双曲线

x2
a2
−
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)，两焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，且△ABF1内切圆的半径为a，则此双曲线的离心率为______．

答

由双曲线的定义得：
|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a两式相加得：|AF1|+|BF1|-|AB|=4a，
又在双曲线中，|AB|=2×

b2
a
，
∴△ABF1周长为：|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+4a=4×
b2
a
+4a，
∵△ABF1内切圆的半径为a，
∴△ABF1面积为：S=
1
2
（|AF1|+|BF1|+|AB|）×a
又S=
1
2
|AB|×2c，
∴
1
2
（4×
b2
a
+4a）×a=
1
2
|AB|×2c
即c2-a2=ac
解得：e=
c
a
=
1+
5
2
，则此双曲线的离心率为
1+
5
2
．
故答案为：
1+
5
2
．

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