求文档:《概率论与数理统计》课后习题答案第二版魏宗舒

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(2)
(3)

+ + = + + =73%
(4)
(5)
(6)
1.26 某班有 个学生参加口试,考签共N张,每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后,问至少有一张考没有被抽到的概率是多少?
解 用 表示“第 张考签没有被抽到”, .要求 .
, ,……,

,……
所以
1.27 从 阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率是多少?
解 阶行列式的展开式中,任一项略去符号不计都可表示为 ,当且仅当 的排列 中存在 使 时这一项包含主对角线元素.用 表示事件“排列中 ”即第 个主对角线元素出现于展开式的某项中.则
,……
所以
1.29 已知一个家庭中有三个小孩,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）.
解 用 分别表示男孩和女孩.则样本空间为：

其中样本点依年龄大小的性别排列. 表示“有女孩”, 表示“有男孩”,则

1.30 设 件产品中有 件是不合格品,从中任取两件,
(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率.
(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下,求另一件也是不合格品的概率.
解（1）设 表示“所取产品中至少有一件是不合格品”, 表示“所取产品都是不合格品”,则

(2)设 表示“所取产品中至少有一件合格品”, 表示“所取产品中有一件合格品,一件不合格品”.则


1.31 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票,他们依次摸彩,求：
(1)已知前 个人都没摸到,求第 个人摸到的概率；
(2)第 个人摸到的概率.
解 设 表示“第 个人摸到”, .
(1)
(2)
1.32 已知一个母鸡生 个蛋的概率为 ,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为 ,证明：一个母鸡恰有 个下一代（即小鸡）的概率为 .
解 用 表示“母鸡生 个蛋”, 表示“母鸡恰有 个下一代”,则



1.33 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手一人,一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2,求在一组内任选一名射手,该射手能通过选拔进入决赛的概率.
解 用 表示“任选一名射手为 级”, , 表示“任选一名射手能进入决赛”,则
1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并在各自的产品里,不合格品各占有5%,4%,2%.现在从产品中任取一只恰是不合格品,问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少?
解 用 表示“任取一只产品是甲台机器生产”
表示“任取一只产品是乙台机器生产”
表示“任取一只产品是丙台机器生产”
表示“任取一只产品恰是不合格品”.
则由贝叶斯公式：


1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1.当有一台机床需要修理时,问这台机床是车床的概率是多少?
解 则 , , ,
, , ,
由贝时叶斯公式得
1.36 有朋友自远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到的概率分别是 、 、 ,而乘飞机不会迟到.结果他迟到了,试问他是乘火车来的概率是多少?
解 用 表示“朋友乘火车来”, 表示“朋友乘轮船来”, 表示“朋友乘汽车来”, 表示“朋友乘飞机来”, 表示“朋友迟到了”.
则
1.37 证明：若三个事件 、 、 独立,则 、 及 都与 独立.
证明 （1）
=
（2）
（3） =
1.38 试举例说明由 不能推出 一定成立.
解 设 , , ,
, , , 则 ,

但是
1.39 设 为 个相互独立的事件,且 ,求下列事件的概率：
(1) 个事件全不发生；
(2) 个事件中至少发生一件；
(3) 个事件中恰好发生一件.
解 (1)
(2)
(3) .
1.40 已知事件 相互独立且互不相容,求 （注： 表示 中小的一个数）.
解 一方面 ,另一方面 ,即 中至少有一个等于0,所以
1.41 一个人的血型为 型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03,现在任意挑选五个人,求下列事件的概率
(1)两个人为 型,其它三个人分别为其它三种血型；
(2)三个人为 型,两个人为 型；
(3)没有一人为 .
解 (1)从5个人任选2人为 型,共有 种可能,在其余3人中任选一人为 型,共有三种可能,在余下的2人中任选一人为 型,共有2种可能,另一人为 型,顺此所求概率为：
(2)
(3)
1.42 设有两门高射炮,每一门击中目标的概率都是0.6,求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少?又若有一架敌机入侵领空,欲以99%以上的概率击中它,问至少需要多少门高射炮.
解 用 表示“第 门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”, , 表示“击中飞机”.则 , .
(1)
(2) ,
取 .至少需要6门高射炮,同时发射一发炮弹,可保证99%的概率击中飞机.
1.43 做一系列独立的试验,每次试验中成功的概率为 ,求在成功 次之前已失败了 次的概率.
解 用 表示“在成功 次之前已失败了 次”, 表示“在前 次试验中失败了 次”, 表示“第 次试验成功”
则

1.45 某数学家有两盒火柴,每盒都有 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根.求他用完一盒时另一盒中还有 根火柴（ ）的概率.
解 用 表示“甲盒中尚余 根火柴”, 用 表示“乙盒中尚余 根火柴”, 分别表示“第 次在甲盒取”,“第 次在乙盒取”, 表示取了 次火柴,且第 次是从甲盒中取的,即在前 在甲盒中取了 ,其余在乙盒中取.所以
由对称性知 ,所求概率为：