若二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(2)=f(-2),且函数的f(x)的一个零点为1.(Ⅰ) 求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)对任意的x∈[12,+∞),4m2f(x)+f(x-1)≥4-4m2恒成立,求实数m的取值范围.

问题描述:

若二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(2)=f(-2),且函数的f(x)的一个零点为1.
(Ⅰ) 求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)对任意的x∈[

1
2
,+∞),4m2f(x)+f(x-1)≥4-4m2恒成立,求实数m的取值范围.

(Ⅰ)∵f(2)=f(-2)且f(1)=0,故函数图象的对称轴为x=0,∴b=0,c=-1,∴f(x)=x2-1.…(4分)(Ⅱ)由题意知:4m2(x2-1)+(x-1)2-1+4m2-4≥0,在x∈[12,+∞)上恒成立,整理得m2≥1x2+12x−14在[12,+∞...
答案解析:(Ⅰ)由题意可得函数图象的对称轴为x=0,求得b=0,再由f(1)=0求得c=-1,从而得到函数的解析式.
(Ⅱ)由题意知,得m2

1
x2
+
1
2x
1
4
[
1
2
,+∞)
上恒成立.令g(x)=
1
x2
+
1
2x
1
4
,求得g(x)的最大值
19
4
,从而得到m2
19
4
,由此求得实数m的取值范围.
考试点:二次函数的性质;函数解析式的求解及常用方法.
知识点:本题主要考查二次函数的性质,函数的恒成立问题,求二次函数在闭区间上的最值,属于基础题.