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设函数f（x）=clnx+12x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；（Ⅱ）若f（x）=0恰有1解，求实数c的取值范围．

分类: 作业答案 • 2021-12-19 17:20:40
问题描述：

设函数f（x）=clnx+

1
2
x2+bx（b，c∈R，c≠0），且x=1为f（x）的极值点．
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极大值点，求f（x）的单调区间（用c表示）；
（Ⅱ）若f（x）=0恰有1解，求实数c的取值范围．

答

（Ⅰ）∵f(x)＝clnx+12x2+bx（b，c∈R，c≠0），∴f′(x)＝cx+x+b=x2+bx+cx，∵x=1为f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴b+c+1=0，且c≠1，f′(x)＝(x−1)(x−c)x．∵x=1为f（x）的极大值点，∴c＞1．当0＜x＜1时，f′...
答案解析：（Ⅰ）由f(x)＝clnx+

1
2
x2+bx（b，c∈R，c≠0），知f′(x)＝
c
x
+x+b=
x2+bx+c
x
，由x=1为f（x）的极值点，知f′(x)＝
(x−1)(x−c)
x
．由x=1为f（x）的极大值点，知c＞1．由此能求出f（x）的单调区间．
（ II）若c＜0，则f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增f（x）=0恰有1解，则f（1）=0，实数c的取值范围．
考试点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系．
知识点：本题考查函数的单调区间、极值的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．

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