在欧式空间V中,对任意两个向量x,y,证明:|x+y|^2+|x-y|^2=2|x|^2+2|y|^2

问题描述:

在欧式空间V中,对任意两个向量x,y,证明:|x+y|^2+|x-y|^2=2|x|^2+2|y|^2

|x+y|^2+|x-y|^2
= (x+y,x+y) + (x-y,x-y)
= (x,x)+2(x,y)+(y,y) + (x,x)-2(x,y)+(y,y)
= 2(x,x)+2(y,y)
= 2|x|^2+2|y|^2.