在三角形ABC中,中线BD,CE相交于点O,试猜想BO与OD有什么数量关系,并试着证明之.

BO/OD=2/1

我不知道你是几年级的，这里我使用向量的知识来给你证明。向量的知识是高一接触的，如果没有学过的话可以借鉴楼上所提供的面积证明方法。
证明：
连结AO，设向量DO=λ向量DB，向量EO=μ向量EC，向量AB=a，向量BC=b
∵D、E分别是AC、AB中点
∴向量AE=1/2，向量AB=1/2*a，向量AD=1/2，向量AC=1/2*(a+b)
由已知可得：
向量AC=向量BC-向量BA=a+b
向量DB=向量DA+向量AB=-1/2*(a+b)+a
向量EC=向量EA+向量AC=-1/2*a+a+b
∴向量EO=μ向量EC=μ(-1/2*a+a+b)
向量DO=λ向量DB=λ(-1/2*(a+b)+a)
∴向量AO=向量AE+向量EO=1/2*a+μ(-1/2*a+a+b)-----------1式
∴向量AO=向量AD+向量DO=1/2*(a+b)+λ[-1/2*(a+b)+a]-----2式
令两式联立，得(1+μ)*a+2*μb=(1+λ)*a+(1-λ)*b
∴1+μ=1+λ，2μ=1-λ
解此方程组可得：μ=λ=1/3
即向量DO=1/3向量DB
向量BO=2向量OD
∴BO=2OD
注：在具体书写时注意我的证明过程中标注“向量”的地方要用在字母上方的箭头来代替。μ和λ为希腊字母，a和b为三角形中设置的两个基向量。

重心定理：三条边的中线的交点（实际做两条中线即可,因为三点共线）
交点到底边的距离与交点到定点的比值为1：2,即BO与OD比值为2：1