以A为端点过三角形ABC内部引一条射线,过B`C作射线的垂线BP`CQ,M为BC中点.证MP=MQ要有具体过程

过C作BP的垂线，交BP延长线于R，连接MR。此时，CQPR是矩形，所以CQ=PR。而MR是直角三角形BRC的斜边中线，所以MR=MB=MC。而由此，MBR是等腰三角形，于是角MRB=角MBR。但是BP与CQ同为AP的垂线，所以它们平行，于是角MBR=角MCQ。这样，在三角形MCQ与MRP中，
MR=MC；CQ=PR；角MRP=角MCQ
于是这两个三角形全等，从而MP=MQ

延长QM,交BP于N,
BP垂直AQ,CQ垂直AQ.BP平行CQ
角BNM=角CQM,BM=CM,角BMN=角CMQ
三角形BNM全等三角形CMQ
MN=MQ
又角QPN=90°,所以MP=MN=MQ
MP=MQ