设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．

答

令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）在上连续，在（a，b）内具有二阶导数且F（a）=F（b）=0．
（1）若f（x），g（x）在（a，b）内同一点c取得最大值，
则f（c）=g（c）⇒F（c）=0，
于是由罗尔定理可得，
存在ξ₁∈（a，c），ξ₂∈（c，b），
使得F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0．
再利用罗尔定理，可得，
存在ξ∈（ξ₁，ξ₂），
使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．
（2）若f（x），g（x）在（a，b）内不同点c₁，c₂取得最大值，
则f（c₁）=g（c₂）=M，
于是F（c₁）=f（c₁）-g（c₁）＞0，F（c₂）=f（c₂）-g（c₂）＜0，
于是由零值定理可得，存在c₃∈（c₁，c₂），使得F（c₃）=0
于是由罗尔定理可得，存在ξ₁∈（a，c₃），ξ₂∈（c₃，b），使得F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0．
再利用罗尔定理，可得，存在ξ∈（ξ₁，ξ₂），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．
答案解析：由所证结论f″（ξ）=g″（ξ）可联想到构造辅助函数F（x）=f（x）-g（x），然后根据题设条件利用罗尔定理证明．
考试点：有界闭区域上连续函数的性质介值定理；用罗尔定理判断导函数根的存在问题．

知识点：对命题为f^（n）（ξ）=0的证明，一般利用以下两种方法：
方法一：验证ξ为f^（n-1）（x）的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；
方法二：验证f^（n-1）（x）在包含x=ξ于其内的区间上满足罗尔定理条件．