用积分推导圆面积公式设在直角坐标系上有一圆心在原点、半径为r的圆,用积分推导出圆的面积计算公式.要有积分思路,并列出式,最好一步一步算,最后推导出公式.
问题描述：
用积分推导圆面积公式
设在直角坐标系上有一圆心在原点、半径为r的圆,用积分推导出圆的面积计算公式.
要有积分思路,并列出式,最好一步一步算,最后推导出公式.
答
x^2+y^2=r^2(x、y>0)
y=√(r^2-x^2)
∫y=∫√(r^2-x^2)dx
设x=rsint
s=∫rcost*rcostdt
=r^2/2∫(1+cos2t)dt
=πr^2/4
再乘以四就可以了
答
把圆n等分 分的数越多 弦长越近似等于弧长 三角形面积越近似等于扇形面积 加起来然后求极限 再积分
答
x^2+y^2=r^2
只需算出第一象限,然后乘以4
S/4=∫(0到r)√(r^2-x^2)dx
令x=rcosa
√(r^2-x^2)=rsina
dx=-rsinada
所以S/4=∫(π/2到0)rsina*(-rsina)da
=-r^2∫(π/2到0)(sina)^2da
=-r^2∫(π/2到0)(1-cos2a)/2da
=-r^2/4∫(π/2到0)(1-cos2a)d2a
=-r^2/4(2a-sin2a)(π/2到0)
=πr^2/4
所以S=πr^2