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设a＞b＞c，k∈R，且（a-c）•（1a−b+1b−c）≥k恒成立，则k的最大值为（　　）A. 2B. 3C. 4D. 5

分类: 作业答案 • 2021-12-19 16:45:47
问题描述：

设a＞b＞c，k∈R，且（a-c）•（

1
a−b
+
1
b−c
）≥k恒成立，则k的最大值为（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答

∵a＞b＞c，∴a-b＞0，b-c＞0，
∴（a-c）•（

1
a−b
+
1
b−c
）=（a-b+b-c）•（
1
a−b
+
1
b−c
）=2+
b−c
a−b
+
a−b
b−c
≥2+2
b−c
a−b
•
a−b
b−c
=4，当且仅当2b=a+c时取等号．
∵（a-c）•（
1
a−b
+
1
b−c
）≥k恒成立，∴k≤[(a−c)(
1
a−b
+
1
b−c
)]min．
∴k≤4．
故选：C．
答案解析：由于（a-c）•（
1
a−b
+
1
b−c
）≥k恒成立⇔k≤[(a−c)(
1
a−b
+
1
b−c
)]min．变形利用基本不等式的性质即可得出．
考试点：基本不等式．
知识点：本题考查了变形利用基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．

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