已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(0)=2,则f(2008)的值为
问题描述：
已知f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(0)=2,则f(2008)的值为
答
∵g(x)=f(x-1)
∴f(x)=g(x+1)
∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数
∴f(x)=g(x+1)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)，g(1)=f(0)=2
∴g(x+1)=-g(x-1)
∴g(x+2)=-g(x)，g(x+4)=-g(x+2)
∴g(x+4)=g(x)即g(x)是周期为4的函数
∵2009能被4除余1
∴f(2008)=g(2009)=g(1)=f(0)=2
答
f(x-1)=g(x)=-g(-x)=-g(-x-1)=-g(x+1)
令t=x-1,得
f(t)=-f(t+2)
所以f(t)=-f(t+2)
=-[-f(t+4)]
=f(t+4)
说明f(x)的周期为4.
从而
f(2008)=f(0)=2