已知向量a=(1,2,3),b=(-2,0,1),c=(2,-1 ,2),判断它们是否平行于同一个平面

假设向量a、b、c在一个平面，则有：a=xb+yc
又a=(1，2，3)，b=(-2，0，1)，c=(2，-1 ，2)
所以
1=-2x+2y, 2=-y, 3=x+2y.
由前两式 x=-2.5，y=-2
带入第3式 x+2y=-6.5≠3
假设不成立 即向量a、b、c不在一个平面

a=(1，2，3），
b=(-2，0，1），
所以，与a、b同时垂直的向量n可取 n=(2，-7，4），
而显然 n 与 c的积=4+7+8 不为0，也即 c与n不垂直，
所以，a、b、c 不平行于同一平面。

如果a向量b向量和c向量同时平行于同一个平面,则说明a,b,c三向量共面,设它们所在平面的法向量为n=（x,y,z）,则an=0,bn=0,cn=0
即
x+2y+3z=0
-2x+z=0
2x-y+2z=0
解得：x=0,y=0,z=0
所以n向量不存在,即a,b,c向量不在同一个平面,即不平行于同一个平面.

假设向量a、b、c在一个平面，则有：a=mb+nc
又因为：a=(1，2，3)，b=(-2，0，1)，c=(2，-1 ，2)
所以：1=-2m+2n ①；
2=-n ②；
3=m+2n ③；
由①②解得：m=-2.5，n=-2
带入③中：m+2n=-6.5≠3
所以：假设不成立
所以：向量a、b、c不在一个平面