在直角坐标系的平面上,向量OA(1,4),向量OB(-3,1),两向量在直线L上的射影长度相等,L的斜率是多少
问题描述：
在直角坐标系的平面上,向量OA(1,4),向量OB(-3,1),两向量在直线L上的射影长度相等,L的斜率是多少
答
|OA|=√17，|OB|=√10，
设向量OA与X轴所成锐角α，
向量OB与X轴所成锐角β，
直线l与X轴夹角为θ，
过原点作直线l的平行线L，则L与l斜率相等，
设OA在L上射影OM，OB在L上射影ON，
〈BON=β+θ，
〈AOM=α-θ，
cos(α-θ)*|OA|=cos(β+θ)*|OB|,
√17cos(α-θ)=√10cos(β+θ),(1)
cosα=4/√17,sinα=1/√17,
cosβ=3/√10，sinβ=1/√10,
由（1）式得：
√17(cosαcosθ+sinαsinθ)=√10(cosβcosθ-sinβsinθ),
4cosθ+sinθ=3cosθ-sinθ,
2sinθ+cosθ=0,
tanθ=-1/2,
l斜率k=tanθ=-1/2.
与原设想不一样，L在2、4象限。
答
连接AB两点,作线段AB的垂线即为直线L,由已知两点可知AB斜率为3/4,所以直线L的斜率为-4/3