设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差（均方差）为2的正态分布，而Y服从标准正态分布．试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数．
问题描述：
设随机变量X与Y独立，且X服从均值为1、标准差（均方差）为
的正态分布，而Y服从标准正态分布．
2
试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数．
答
知识点：本题主要考查概率密度的性质以及方差、期望的性质，属于基础题．
由已知X服从均值为1、标准差（均方差）为
的正态分布，
2
所以
～N（0，1），E（X）=1，D（X）=2；X−1
2
由Y服从标准正态分布，
所以：Y～N（0，1），E（Y）=0，D（Y）=1；
又X、Y相互独立，由
正态分布的可加性和正态分布的线性函数依然服从正态，
得：Z=2X-Y+3依然服从正态分布，
由期望和方差的性质，可算得：
E（Z）=2E（X）-E（Y）+3=5，
D（Z）=4D（X）+D（Y）=9，
所以：Z～N（5，9），
即得Z的密度函数为：
e−1 3
π
2
．(z−5)2
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答案解析：利用由正态分布的可加性可知Z仍为正态分布，由方差和期望的性质可求得Z的分布函数，从而求得概率密度函数．
考试点：概率密度的性质．
知识点：本题主要考查概率密度的性质以及方差、期望的性质，属于基础题．