证明:设A为n阶方阵,对于任意一个n维向量x=(x1,x2,…xn)T都有Ax=0,则A=0
问题描述:
证明:设A为n阶方阵,对于任意一个n维向量x=(x1,x2,…xn)T都有Ax=0,则A=0
答
刚刚学一点,卖弄一下——既然Ax有意义,则方阵A的阶数n=1,即A是一个数。设A=a,则Ax=ax=0,解这个方程得a=0,故A=0。
答
由题意,Ax=0的解空间是K^n,于是解空间维数为n,则rank(A)=n-n=0
所以A=0
答
Ax=0,所以有对任意x,y,有
(yT)Ax=0
取x=(0,0,.0,1,0,...0)T,(第j个是1)
y=(0,0,...0,1,0,.0)T,(第i个是1)
于是
0=(yT)Ax=A{ij}
即A的任意元素为0
A=0