设A 是一个n ×n 实矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法,试证明其是线性空间紧急!
问题描述：
设A 是一个n ×n 实矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法,试证明其是线性空间
紧急!
答
设V = { f(A) | f(x)是实系数多项式 }
因为矩阵的加法和数乘满足线性空间的8条算律,
所以,只需证明V对运算封闭即可.
对V中任意 f(A),g(A),则 h(x) = f(x)+g(x)是实系数多项式,所以 f(A)+g(A) = h(A) 也属于V.
对任一实数k,kf(x)也是实系数多项式,所以 kf(A) 也属于V.
所以 V是线性空间