求抛物线y^2=4x与直线x=1所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积Vy
问题描述：
求抛物线y^2=4x与直线x=1所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积Vy
答
这个题目还少一个条件，不能构成封闭图形，下面假设抛物线y^2=4x与直线x=1，y=0所围成的封闭图形
Vy=∫[0,2]π[1-(y^2/4)^2]dy
＝π(y-1/80y^5)[0,2]
=8π/5
答
方程整理：x1=y²/4 x2=1
建立微分：在y=y处,dVy=π（x2²-x1²)dy=π[1²-(y²/4)^2]dy
∴Vy=∫【-2,2】{π[1-y^4/16]}dy
=2∫【0,2】[π(1-y^4/16)]dy
=2π(y-y^5/80)【0,2】
=(2*2-2*32/80)π
=16π/5