求函数Y=1/(sin^2x)+2/(cos^2x)的最小值
问题描述：
求函数Y=1/(sin^2x)+2/(cos^2x)的最小值
答
令cos^2x=k,则1>=k>=0
y=(2-k)/[k(1-k)
对y取导数得
dy/dk=(k^2-4k+2)/[(k-k^2)^2]
令dy/dk=0，则y=(2-k)/[k(1-k)有极值
解得k=2-√2
代入y=(2-k)/[k(1-k)得
y=3+2√2,经检验是最小值。
答
Y=1/(sin^2x)+2/(cos^2x)
=(cos^2x+2sin^2x)/(sin^2x*cos^2x)
=4*(1+sin^2x)/(sin2x)^2>=4*(1+0)/1^2=4 （x=k*pi+3/4*pi取等号）
因此Y的最小值是4
答
3+2√2.