已知参数方程x=(t+1/t)sinθ,y=(t-1/t)cosθ.若t为参数,判断方程表示什么曲线

问题描述:

已知参数方程x=(t+1/t)sinθ,y=(t-1/t)cosθ.若t为参数,判断方程表示什么曲线

方程表示的是双曲线。
分别由x=(t+1/t)sinθ,y=(t-1/t)cosθ 可得t+1/t=x/sinθ,t-1/t=y/cosθ,把这两式的两边平方得
t^2+1/t^2+2=x^2/(sinθ)^2,t^2+1/t^2-2=y^2/(cosθ)^2,两式相减得x^2/(sinθ)^2-y^2/(cosθ)^2=4,两边同除以4得x^2/(2sinθ)^2-y^2/(2cosθ)^2=1,所以这个方程表示的是实半轴a=2sinθ,虚半轴b=2cosθ的双曲线。

t+1/t=x/sinθ
t-1/t=y/cosθ
两式相加:2t=x/sinθ+y/cosθ
两式相减:2/t=x/sinθ-y/cosθ
此两式相乘:4=x^2/(sinθ)^2-y^2/(cosθ)^2
这是双曲线.