x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0．求证：方程a2x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．
问题描述：
x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0．求证：方程
x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间． a 2
答
证明：由于x1与x2分别是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的根，
所以有
ax12+bx1+c＝0 −ax22+bx2+c＝0
设f（x）=
x2+bx+c，a 2
则f（x1）=
x12+bx1+c=-a 2
x12，a 2
f（x2）=
x22+bx2+c=a 2
x22，3a 2
∴f（x1）f（x2）=-
a2x12x223 4
由于x1≠x2，x1≠0，x2≠0，
所以f（x1）f（x2）＜0，
因此方程
x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．a 2
答案解析：先由x1与x2分别是实系数方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一个根，得到关于x1与x2的两个等式，再设f（x）=
x2+bx+c，利用条件推出f（x1）f（x2）＜0，即可说明方程a 2
x2+bx+c=0有一个根介于x1和x2之间．a 2
考试点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．
知识点：本题考查一元二次方程根的分布问题．在解题过程中用到了零点存在性定理，若想说函数在某个区间上有零点，只要区间两端点值异号即可．