设A为一个n级实对称矩阵,且|A|
问题描述：
设A为一个n级实对称矩阵,且|A|
答
证明：
因为A为一个n级实对称矩阵,
因此存在正交矩阵P满足：
P'AP=diag(a1,a2,...,an). [P'=P^-1]
其中a1,a2,...,an是A的特征值.
又因为：|A|=a1a2...an所以a1,a2,...,an中必有负数.
设 a1令X=P(1,0,0,...,0)'
则有：
X'AX=[P(1,0,0,...,0)']A[P(1,0,0,...,0)']
= (1,0,0,...,0)P'AP(1,0,0,...,0)'
= (1,0,0,...,0)diag(a1,a2,...,an)(1,0,0,...,0)'
= a1 由此可知，必存在实n维向量x不等于0使x'Ax
答
证明:由A为实对称矩阵,
则存在正交矩阵P满足 P'AP=diag(a1,a2,...,an).[P'=P^-1]
其中a1,a2,...,an是A的特征值.
又因为 |A|=a1a2...an